Question

如图，某工件形状如图所示，等腰Rt△ABC中斜边AB=4，点O是AB的中点，以O为圆心的圆分别与两腰相切于点D、E，则图中阴影部分的面积是（　　）

• A、2-

  π

  2

• B、

  π

  2

• C、3-

  π

  2

• D、2-π

Answer 1

分析：本题需先求出直角三角形的边长，再利用切线的性质和等腰直角三角形的性质得出四边形CDOE是正方形，然后分别求出直角三角形ABC、扇形FOD，正方形CDOE，扇形EOG的面积，即可求出阴影部分的面积．

解答：解：设AC=BC=x，
则x²+x²=4
x=2

2

∴AC=BC=2

2

设OD=R，则OE=R
∵AC，BC与⊙O相切，
∴OD⊥AD，OE⊥BC
∵∠A=45°
∴∠AOD=45°
∴∠A=∠AOD
∴AD=OD=R
∵AC=2

2

∵AC=2

2

∴AD=OD
∵∠C=90°
∴四边形ODCE是正方形
∴CD=CE=OD=AD=

2

∴S_{正方形CDOE}=(

2

)2=2
S_扇形FOD=S_扇形EOG=

45π( 2 )2

360

=

π

4

∴阴影部分的面积是2-

π

2

故选A

点评：本题主要考查了扇形面积的求法，在解题时要注意面积计算公式和图形的有关性质的综合应用．