Question

（1）解下列方程：①x²-2x-2=0；②2x²+3x-1=0；③2x²-4x+1=0；④x²+6x+3=0；
（2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式

 

．

Answer 1

分析：（1）直接代入公式计算即可．
（2）其中方程①③④的一次项系数为偶数2n（n是整数）．然后再利用求根公式代入计算即可．

解答：解：（1）①解方程x²-2x-2=0①，
∵a=1，b=-2，c=-2，
∴x=

-b± b2-4ac

2a

=

2± 4+8

2

=1±

3

，
∴x₁=1+

3

，x₂=1-

3

．
②解方程2x²+3x-l=0，
∵a=2，b=3，c=-1，
∴x=

-b± b2-4ac

2a

=

-3± 9+8

4

，
∴x₁=

-3+ 17

4

，x₂=

-3- 17

4

．（2分）
③解方程2x²-4x+1=0，
∵a=2，b=-4，c=1，
∴x=

-b± b2-4ac

2a

=

4± 16-8

4

=

2± 2

2

，
x₁=

2+ 2

2

，x₂=

2- 2

2

．（3分）
④解方程x²+6x+3=0，
∵a=1，b=6，c=3，
∴x=

-b± b2-4ac

2a

=

-6± 36-12

2

=-3±

6

，
∴x₁=-3+

6

，x₂=-3-

6

．（4分）
（2）其中方程①③④的一次项系数为偶数2n（n是整数）．（8分）
一元二次方程ax²+bx+c=0，其中b²-4ac≥0，b=2n，n为整数．
∵b²-4ac≥0，即（2n）²-4ac≥0，
∴n²-ac≥0，
∴x=

-b± b2-4ac

2a

=

-2n± 4n2-4ac

2a

=

-2n±2 n2-ac

2a

=

-n± n2-ac

a

（11分）
∴一元二次方程ax²+2nx+c=0（n²-ac≥0）的求根公式为

-n± n2-ac

a

．（12分）

点评：本题主要考查了解一元二次方程的公式法．关键是正确理解求根公式，正确对二次根式进行化简．