Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3 ），B（4，0）两点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN ， 求出 的值，并求出此时点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（1，3 ），B（4，0）在抛物线y=mx2+nx的图象上，

∴ ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+4 x

（2）

解：存在三个点满足题意，理由如下：

当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵A（1，3 ），

∴D坐标为（1，0）；

当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2=1+（3 ﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）2+（3 ）2=36，

∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，

∴AD2+BD2=AB2，即1+（3 ﹣d）2+42+d2=36，解得d= ，

∴D点坐标为（0， ）或（0， ）；

综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0， ）或（0， ）；

（3）

解：如图2，过P作PF⊥CM于点F，

∵PM∥OA，

∴Rt△ADO∽Rt△MFP，

∴ =3 ，

∴MF=3 PF，

在Rt△ABD中，BD=3，AD=3 ，

∴tan∠ABD= ，

∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN= a，

在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，

∴tan∠PNF= = ，

∴FN= PF，

∴MN=MF+FN=4 PF，

∵S△BCN=2S△PMN，

∴ a2=2× ×4 PF2，

∴a=2 PF，

∴NC= a=2 PF，

∴ = ，

∴MN= NC= × a= a，

∴MC=MN+NC=（ + ）a，

∴M点坐标为（4﹣a，（ + ）a），

又M点在抛物线上，代入可得﹣ （4﹣a）2+4 （4﹣a）=（ + ）a，

解得a=3﹣ 或a=0（舍去），

OC=4﹣a= +1，MC=2 + ，

∴点M的坐标为（ +1，2 + ）．

【解析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
　　　　（2）分D在x轴上和y轴上，当D在x轴上时，过A作AD⊥x轴，垂足D即为所求；当D点在y轴上时，设出D点坐标为（0，d），可分别表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到关于d的方程，可求得d的值，从而可求得满足条件的D点坐标；
　　　　（3）过P作PF⊥CM于点F，利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数，可用PF分别表示出MF和NF，从而可表示出MN，设BC=a，则可用a表示出CN，再利用S△BCN=2S△PMN ， 可用PF表示出a的值，从而可用PF表示出CN，可求得 的值；借助a可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可求得a的值，从而可求出M点的坐标．本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、勾股定理、相似三角形的判定和性质、点与函数图象的关系及分类讨论等．在（2）中注意分点D在x轴和y轴上两种情况，在（3）中分别利用PF表示出MF和NC是解题的关键，注意构造三角形相似．本题涉及知识点较多，计算量较大，综合性较强，特别是第（3）问，难度很大．