Question

如图，已知△ABC中，∠ABC =90°，以CB为直径的⊙O交CA于点E，过点E作AB的平行线交CB于点F，交⊙O于点G， 若⊙O的半径为5，EG=8
（1）求BF的长；
（2）若点D是AB的中点，连结DE，① 证明：DE是⊙O的切线； ② 求直角梯形BDEF的腰（DE）长。

Answer 1

解：连结OE
（1）解：∵EG∥AB，∠ABC =90°，EG=8，
   ∴OF⊥EG
   ∴EF=FG=4
  在Rt△OEF中由勾股定理得=3，
   ∴BF=OB-OF=5-3=2。
（2）① 证明∵BC是⊙O的直径，
   ∴∠BEC =∠AEB=90°
   ∵点D是AB的中点，
   ∴ED=BD ∴∠DEB =∠DBE
   ∵OB=OE，∴∠OEB =∠OBE
   ∵∠OED=∠OEB +∠DEB=∠DBE+∠OBE=∠DBC =90°
   ∴DE是⊙O的切线。
  ② 解过点D作DH⊥EG于H，设DE=x
   ∵∠ABC =90°， ∴AB是⊙O的切线,
   由①知DE是⊙O的切线，
   ∴BD=DE=x，矩形HDBF中有HF=BD=x,
   ∴EH=4-x
  在Rt△DEH中，∠DHE=90°，
   由勾股定理得；
  ∴，
  解得x=，即DE的长为。