Question

【题目】已知：矩形，点在的延长线上，连接，，且，的平分线交于点．

（1）如图1，求的大小；

（2）如图2，过点作交的延长线于点，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，交于点，点为的中点，连接交于点，点在上，且，连接，且．延长交于点，连接，若的周长与的周长的差为2，求的长．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）令，由矩形的性质可得，由三角形外角性质和角平分线的性质可得，从而求出∠BFC的大小；

（2）过点作于点，过点作交的延长线于点，先证明，再证，从而证明；

（3）延长交于点，先证明，得到，再证，得，根据的周长与的周长的差为2，求出，设，则，，在中和中，根据勾股定理求出a的值，从而求出MN的长度.

（1）解：如图，令，

∴四边形是矩形，

∴

∵，

∴，

∴，

∴，

又∵平分，

∴，

∴；

（2）证明：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，

∵四边形是矩形，

∴， ，

∵，

∴，

∵，

∴ ，

∴，

在四边形中， ，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴；

（3）解：如图，延长交于点，

∵四边形是矩形，

∴，，，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∵为中点，

∴，

∴ ，

∴，

∴四边形为平行四边形，

∴，

∵，，，

∴ ，

∴ ，，

∴，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

又∵的周长与的周长的差为2，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

设，则，，

∴，

在中，，

在中，，

∴解得，（舍），

∴，，

∴，

∴，，

∴.