Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AC与反比例函数在第一象限内的图象交于点A、C，连接OA、OC，过点A作AB⊥x轴于点B，交OC于点D，且△AOB为等腰直角三角形，tan∠COB=

1

4

，S_△OBD=2．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求△OAC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据tan∠COB=

1

4

，设BD=a，然后根据S_△OBD=2即可求得a的值，即可求得B的坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）直线OC的解析式是y=

1

4

x，求得C的坐标，然后根据△OAC的面积=△OAD的面积+△ACD的面积即可求解．

解答：解：（1）设BD=a，
∵tan∠COB=

1

4

，即

BD

OB

=

1

4

∴OB=4a．
∵S_△OBD=2．即

1

2

•4a•a=2
解得：a=1．
则A的坐标是（4，4），
把A代入y=

k

x

，得：k=16．
则反比例函数的解析式是：y=

16

x

；

（2）∵A的坐标是（4，4），
∴△OAD的面积=

1

2

×4×4-2=6．
直线OC的解析式是y=

1

4

x，代入y=

16

x

，解得：x=8，则C的坐标是（8，2）．
D的坐标是（1，4），则AD=4-1=3．
则△ACD的面积是：

1

2

×3×（8-4）=6．
则△OAC的面积=△OAD的面积+△ACD的面积=6+6=12．

点评：本题考查了反比例函数与三角形的面积的综合应用，关键是根据三角函数以及三角形的面积公式求得A的坐标．