Question

某旅游景点为提高游客到该景点的安全性，决定将到达景点的步行台阶进行改善，把倾斜角由45°减至30°，已知原台阶AB的长为5m（BC所在地面为水平面）．
（1）改善后的台阶与原来的相比，加长了多少米？（结果保留根号）
（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（结果保留根号）

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题

专题：

分析：（1）由题意可得，在Rt△ABC中，AC=BC=AB•sin45°，可求得AC与BC的长，然后在Rt△ADC中，AD=

AC

sin30°

，即可求得改善后的台阶坡面会AD长；
（2）首先由在Rt△ACD中，CD=

AC

tan30°

，求得CD的长，又由BC=5米，即可求得改善后的台阶会多占多长一段水平地面．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC=45°，AC=BC=AB•sin45°=5×

2

2

=

5 2

2

（米），
在Rt△ADC中，
∵∠D=30°，
∴AD=

AC

sin30°

=

5 2 2

1 2

=5

2

（米），
则AD-AB=（5

2

-5）米；
答：改善后的台阶与原来的相比，加长了（5

2

-5）米；

（2）在Rt△ACD中，CD=

AC

tan30°

=

5 2 2

3 3

=

5 6

2

（米），
∵BC=

5 2

2

米，
∴BD=CD-BC=

5 6

2

-

5 2

2

=

5( 6 - 2 )

2

（米）．
答：改善后的台阶多占

5( 6 - 2 )

2

米的一段地面．

点评：此题考查了坡度坡角问题．此题难度不大，注意能利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．注意数形结合思想的应用．