Question

如图，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°，BE、CF交于M，连AM．
（1）求证：BE=CF； 
（2）求证：BE⊥CF；
（3）求∠AMC的度数．

Answer 1

分析：（1）求出∠BAE=∠CAF，根据SAS推出△CAF≌△BAE即可；
（2）根据全等得出∠ABE=∠ACF，求出∠ABO+∠BOA=∠COM+∠ACF=90°，求出∠CMO=90°即可；
（3）作AG⊥BE于G，AH⊥CF于H，证全等得出AG=AH，得出正方形，求出∠AMG，即可求出答案．

解答：证明：（1）∵∠BAC=∠EAF=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠FAE+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAF，
在△CAF和△BAE中

AC=AB ∠CAF=∠BAE AF=AE

∴△CAF≌△BAE，
∴BE=CF．

（2）证明：∵△CAF≌△BAE，
∴∠ABE=∠ACF，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABO+∠BOA=90°，
∵∠BOA=∠COM，
∴∠COM+∠ACF=90°，
∴∠CMO=180°-90°=90°，
∴BE⊥CF．

（3）解：过点A分别作AG⊥BE于G，AH⊥CF于H，
则∠AGB=∠AHC=90°，
在△AGB和△AHC中

∠ABG=∠ACH ∠AGB=∠AHC AB=AC

∴△AGB≌△AHC，
∴AG=AH，
∵AG⊥BE，AH⊥FC，BE⊥CF，
∴∠AGM=∠GMH=∠AHM=90°，
∴四边形AHMG是正方形，
∴∠GMH=90°，∠AMG=

1

2

∠HMG=45°，
∴∠AMC=90°+45°=135°．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．