Question

设抛物线y=ax²+bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0）、B（m，0），与y轴交于点C．且∠ACB=90°．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式可知C点坐标为（0，-2），即OC=2，由于∠ACB=90度，根据射影定理OC²=OA•OB，可求出OB的长，进而可求出B点的坐标，也就求出了m的值，然后将A、B的坐标代入抛物线中即可求出其解析式．
（2）可先根据抛物线的解析式和直线AE的解析式求出E点和D点的坐标，经过求解不难得出∠EAB=∠DBO=45°，因此本题要分两种情况进行讨论：
①∠DPB=∠ABE；②∠PDB=∠ABE．
可根据对应的相似三角形得出的成比例线段求出OP的长，进而可求出P点的坐标．

解答：解：（1）令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB=OC²，
∴OB=

OC2

OA

=

22

1

=4，
∴m=4，
将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-2，
得

a= 1 2 b=- 3 2

，
∴抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x-2．

（2）D（1，n）代入y=

1

2

x²-

3

2

x-2，得n=-3，∴D（1，-3）．
解方程组

y= 1 2 x2- 3 2 x-2 y=x+1

，
得

x1=-1 y1=0

x2=6 y2=7

．
∴E（6，7）．
过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0）．
∴AH=EH=7，
∴∠EAH=45°．
过D作DF⊥x轴于F，则F（1，0）．
∴BF=DF=3，
∴∠DBF=45°，
∴∠EAH=∠DBF=45°，
∴∠DBH=135°，
∵90°＜∠EBA＜135°，
则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：
①若△DBP₁∽△EAB，则

BP1

AB

=

BD

AE

，
∴BP₁=

AB•BD

AE

=

5×3 2

7 2

=

15

7

，
∴OP₁=4-

15

7

=

13

7

，
∴P₁（

13

7

，0）．
②若△DBP₂∽△BAE，则

BP2

AE

=

BD

AB

，
∴BP₂=

AE•BD

AB

=

7 2 ×3 2

5

=

42

5

，
∴OP₂=

42

5

-4=

22

5

，
∴P₂（-

22

5

，0）．
综合①、②，得点P的坐标为：P₁（

13

7

，0）或P₂（-

22

5

，0）．

点评：本题考查二次函数解析式的确定、函数图象交点、三角形相似以及综合应用知识、解决问题的能力．本题是一道应用能力较强的题，比较好．