Question

如图，已知等边△ABC，以AB为直径向外做半圆．
（1）请用直尺和圆规作该半圆的三等点D、E；（要保留作图痕迹，不写作法与证明）
（2）连接CD交AB于F，求

DF

CF

的值．

Answer 1

分析：（1）作线段AB的中垂线交AB于O，再分别以A，B两点为圆心，AO为半径画弧，交半圆弧于D，E，则D，E为所求；
（2）利用已知条件证明△AFE∽△BCF，即可求出

DF

CF

的值．

解答：解：（1）如图所示：


（2）连接OD，CD，
∵点D、E是半圆弧的三等分点，
∴∠AOD=60°，
∴AO=DO=AD=

1

2

AB=

1

2

BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴AD∥BC，
∴△AFD∽△BFC，
∴

DF

CF

=

AD

BC

=

AD

AB

=

1

2

．

点评：本题考查了等边三角形的性质、在同圆或等圆中圆心角、弧、弦的关系和相似三角形的判定和相似三角形的性质．