题目内容
如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，2），C（3，0）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ⊥直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t≤7），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．（1）写出点B的坐标：______；
（2）当t=7时，求直线PQ的解析式，并判断点B是否在直线PQ上；
（3）求S关于t的函数关系式；
（4）连接AC．是否存在t，使得PQ分△ABC的面积为1：3？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）由在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，2），C（3，0），即可求得点B的坐标；
（2）由A（1，2），可求得直线OA的解析式，又由PQ⊥直线OA，即可设直线PQ的解析式为：y=-
x+b，又由当t=7时，点P的坐标为（7，0），即可求得直线PQ的解析式，继而可得点B在直线PQ上；
（3）分别从当0＜t≤3，当3＜t≤5与当5＜t≤7时，去分析求解即可求得答案；
（4）由题意可得：当3＜t≤5时，S△DEF=
S△ABC=
，当5＜t≤7时，S△BDE=
S△ABC=
，则可得方程，解方程即可求得答案．
解答：解：（1）∵A（1，2），C（3，0），AB∥OC，BC⊥x轴于点C，
∴点B的坐标为：（3，2）；
故答案为：（3，2）．
（2）∵设直线OA的坐标为：y=kx，
∵A（1，2），
∴k=2，
即直线OA的解析式为：y=2x，
∵PQ⊥直线OA，
∴设直线PQ的解析式为：y=-
x+b，
∵当t=7时，点P的坐标为（7，0），
∴-
×7+b=0，
解得：b=
，
∴直线PQ的解析式为：y=-
x+
；
当x=3时，y=2，
∴点B在直线PQ上；
（3）∵直线OA的解析式为：y=2x，
∴tan∠POQ=2，即sin∠POQ=
，cos∠POQ=
，
∴tan∠OPQ=
，
∵OP=t，
∴OQ=
t，PQ=
t，
当t=3时，点P与点C重合，
当Q与A重合时，即OQ=OA=
=
，
∴
t=
，
解得：t=5；
当0＜t≤3，S=S△PQO=
OQ•PQ=
×
t×
t=
t2；
当3＜t≤5，如图2，
∵PC=t-3，
∴CD=PC•tan∠OPQ=
PC=
，
S=S△POQ-S△PCD=
t2-
（t-3）×
=-
；
∴当3＜t≤5，
；
当5＜t≤7，如图3，
∵CD=
，
∴BD=2-
=
，
∵AB∥x轴，
∴∠BED=∠OPQ，
∴tan∠BED=
，
∴BE=2BD=7-t，
∴S=S梯形OABC-S△BED=
×（2+3）×2-
×（7-t）×
=
，
∴当5＜t≤7，
；
（4）存在．
理由：∵S△ABC=
AB•BC=
×2×2=2，
∴若使得PQ分△ABC的面积为1：3，
当3＜t≤5时，S△DEF=
S△ABC=
，
设AC交PQ于点E，过点E作EF∥DF，
∴△CEF∽△CAB，△EDF∽△PDC，
∴EF：AB=CF：CB，EF：CP=DF：CD，
∵AB=BC，CP=2CD，
∴EF=CF，EF=2DF，
∴CF=2DF，
∴DF=CD=
，
∴EF=2DF=t-3，
∴
×（t-3）×
=
，
解得：t=3+
；
当5＜t≤7时，S△BDE=
S△ABC=
，
即
×（7-t）×
=
，
解得：t=7-
；
综上可得：
或
．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、垂线间的关系以及三角形的面积问题．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
（2）由A（1，2），可求得直线OA的解析式，又由PQ⊥直线OA，即可设直线PQ的解析式为：y=-
x+b，又由当t=7时，点P的坐标为（7，0），即可求得直线PQ的解析式，继而可得点B在直线PQ上；（3）分别从当0＜t≤3，当3＜t≤5与当5＜t≤7时，去分析求解即可求得答案；
（4）由题意可得：当3＜t≤5时，S△DEF=
S△ABC=，当5＜t≤7时，S△BDE=S△ABC=，则可得方程，解方程即可求得答案．解答：解：（1）∵A（1，2），C（3，0），AB∥OC，BC⊥x轴于点C，
∴点B的坐标为：（3，2）；
故答案为：（3，2）．
（2）∵设直线OA的坐标为：y=kx，
∵A（1，2），
∴k=2，
即直线OA的解析式为：y=2x，
∵PQ⊥直线OA，
∴设直线PQ的解析式为：y=-
x+b，∵当t=7时，点P的坐标为（7，0），
∴-
×7+b=0，解得：b=
，∴直线PQ的解析式为：y=-
x+；当x=3时，y=2，
∴点B在直线PQ上；
（3）∵直线OA的解析式为：y=2x，
∴tan∠POQ=2，即sin∠POQ=
，cos∠POQ=，∴tan∠OPQ=
，∵OP=t，
∴OQ=
t，PQ=t，当t=3时，点P与点C重合，
当Q与A重合时，即OQ=OA=
=，∴
t=，解得：t=5；
当0＜t≤3，S=S△PQO=
OQ•PQ=×t×t=t2；当3＜t≤5，如图2，
∵PC=t-3，
∴CD=PC•tan∠OPQ=
PC=，S=S△POQ-S△PCD=
t2-（t-3）×=-；∴当3＜t≤5，
；当5＜t≤7，如图3，
∵CD=
，∴BD=2-
=，∵AB∥x轴，
∴∠BED=∠OPQ，
∴tan∠BED=
，∴BE=2BD=7-t，
∴S=S梯形OABC-S△BED=
×（2+3）×2-×（7-t）×=，∴当5＜t≤7，
；（4）存在．
理由：∵S△ABC=
AB•BC=×2×2=2，∴若使得PQ分△ABC的面积为1：3，
当3＜t≤5时，S△DEF=
S△ABC=，设AC交PQ于点E，过点E作EF∥DF，
∴△CEF∽△CAB，△EDF∽△PDC，
∴EF：AB=CF：CB，EF：CP=DF：CD，
∵AB=BC，CP=2CD，
∴EF=CF，EF=2DF，
∴CF=2DF，
∴DF=CD=
，∴EF=2DF=t-3，
∴
×（t-3）×=，解得：t=3+
；当5＜t≤7时，S△BDE=
S△ABC=，即
×（7-t）×=，解得：t=7-
；综上可得：
或．点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、垂线间的关系以及三角形的面积问题．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
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如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，2），C（3，0）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ⊥直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t≤7），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．