Question

若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足（a²⁰¹²-c²⁰¹²）（a²⁰¹²-d²⁰¹²）=2012，（b²⁰¹²-c²⁰¹²）（b²⁰¹²-d²⁰¹²）=2012，则（ab）²⁰¹²-（cd）²⁰¹²的值为

1. A.
   -2012
2. B.
   -2011
3. C.
   2012
4. D.
   2011

Answer 1

A
分析：根据题意可将a²⁰¹²与b²⁰¹²看做方程（x-c²⁰¹²）（x-d²⁰¹²）=2012的两个解，把所求的式子被减数利用积的乘方逆运算变形后换为x₁x₂，把方程整理后，利用根与系数的关系表示出x₁x₂，代入整理后的式子中，即可求出所求式子的值．
解答：设a²⁰¹²与b²⁰¹²看做方程（x-c²⁰¹²）（x-d²⁰¹²）=2012的两个解，
方程整理得：x²-（c²⁰¹²+d²⁰¹²）x+（cd）²⁰¹²-2012=0，
则（ab）²⁰¹²-（cd）²⁰¹²=，
又x₁x₂=（cd）²⁰¹²-2012，
则（ab）²⁰¹²-（cd）²⁰¹²==（cd）²⁰¹²-2012-（cd）²⁰¹²=-2012．
故选A．
点评：此题考查了根与系数的关系的运用，利用了方程的思想，其中当一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有解，即b²-4ac≥0时，设方程的两个根分别为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-，x₁x₂=．