Question

已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE=∠DBM．
（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AE=

2

MD；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为：

 

．
（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE=2

7

，求tan∠ACP的值．

Answer 1

分析：（1）由题意知∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM故有△ABE∽△DBM?AE：DM=AB：BD，而∠ABC=45°?AB=

2

BD，则有AE=

2

MD；
（2）由于cos60°=

1

2

，类似（1）可得到AE=2MD；
（3）由于△ABE∽△DBM，相似比为2，故有EB=2BM，由题意知得△BEP为等边三角形，有EM⊥BP，∠BMD=∠AEB=90°，在Rt△AEB中求得AE、AB、tan∠EAB的值，由D为BC中点，M为BP中点，得DM∥PC．
求得tan∠PCB的值，在Rt△ABD和Rt△NDC中，由三角函数的概念求得AD、ND的值，进而求得tan∠ACP的值．

解答：（1）证明：如图1，连接AD．
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵∠ABC=45°，
∴BD=AB•cos∠ABC即AB=

2

BD．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴

AE

DM

=

AB

DB

=

2

，
∴AE=

2

MD．

（2）解：∵cos60°=

1

2

，
∴MD=AE•cos∠ABC=AE•

1

2

，即AE=2MD．
∴AE=2MD；

（3）解：如图2，连接AD，EP．
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
又∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=

1

2

AB．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴

BE

BM

=

AB

DB

=2，
∠AEB=∠DMB．
∴EB=2BM．
又∵BM=MP，
∴EB=BP．
∵∠EBM=∠ABC=60°，
∴△BEP为等边三角形，
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90°，
∴∠AEB=90°．
在Rt△AEB中，AE=2

7

，AB=7，
∴BE=

AB2-AE2

=

21

．
∴tan∠EAB=

3

2

．
∵D为BC中点，M为BP中点，
∴DM∥PC．
∴∠MDB=∠PCB，
∴∠EAB=∠PCB．
∴tan∠PCB=

3

2

．
在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=

7

2

3

，
在Rt△NDC中，ND=DC•tan∠NCD=

7

4

3

，
∴NA=AD-ND=

7

4

3

．
过N作NH⊥AC，垂足为H．
在Rt△ANH中，NH=

1

2

AN=

7

8

3

，AH=AN•cos∠NAH=

21

8

，
∴CH=AC-AH=

35

8

，
∴tan∠ACP=

3

5

．

点评：本题考查了相似三角形的判定，利用直角三角形的性质，三角函数的概念求解，通过作辅助线使线段与线段的关系得到明确．本题的计算量大，难度适中．