Question

已知关于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁+x₂=1-x₁x₂，求k的值．

Answer 1

解：（1）∵方程x²-2（k-1）x+k²=0有两个实数根x₁，x₂，
∴△≥0，即4（k-1）²-4×1×k²≥0，解得k≤，
∴k的取值范围为k≤；

（2）∵方程x²-2（k-1）x+k²=0有两个实数根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=k²，
∴2（k-1）+k²=1，即k²+2k-3=0，
∴k₁=-3，k₂=1，
∵k≤，
∴k=-3．
分析：（1）根据一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac的意义得到△≥0，即4（k-1）²-4×1×k²≥0，解不等式即可得到k的范围；
（2）根据一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=k²，则2（k-1）+k²=1，即k²+2k-3=0，利用因式分解法解得k₁=-3，k₂=1，然后由（1）中的k的取值范围即可得到k的值．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系．