已知:直角梯形ABCO以O为原点.OC所在直线为x轴.OA所在直线为y轴.建立坐标系.其中AB=10.OA=40.∠OCB=45°．(1)求过O.B.C三点的抛物线解析式,(2)在抛物线BC段上存在一点D.使得△ACD面积最大?若存在.请求出D点坐标.并求最大面积,(3)动点F从A向B运动速度为1.E从C到O点运动速度为3.几秒后使得EF平分梯形ABCO的面积.并求出直线EF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

已知：直角梯形ABCO以O为原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立坐标系，其中AB=1

0，OA=40，∠OCB=45°．
（1）求过O、B、C三点的抛物线解析式；
（2）在抛物线BC段上存在一点D，使得△ACD面积最大？若存在，请求出D点坐标，并求最大面积；
（3）动点F从A向B运动速度为1，E从C到O点运动速度为3，几秒后使得EF平分梯形ABCO的面积，并求出直线EF的解析式．

分析：（1）可先根据已知条件求出B、C的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）求三角形ACD的面积，无法直接利用D、A、C的坐标来求，那么可过D作DD′⊥x轴交AC的延长线于D′，那么三角形ADC的面积=三角形ADD′的面积-三角形DCD′的面积．可先根据A、C的坐标求出AC所在直线的解析式，然后根据抛物线和一次函数的解析式分别设出D、D′的坐标，然后用x表示出DD′的长，而这两个三角形的高的差正好就是OC的长，由此可得出关于S、x的函数关系式，可根据得出的函数的性质来求出S的最大面积以及对应的x的值，然后将x代入抛物线中求出D点的坐标．
（3）可先设出时间为t，那么此时可先求出梯形OABC的面积，然后用时间t表示出梯形OEFB的面积，根据梯形OEFB的面积是梯形OABC面积的一半可得出关于t的方程，进而可求出t的值，也就得出了E、F的坐标，然后用待定系数法即可求出E、F所在的直线的解析式．

解答：

解：（1）过B作BB′⊥x轴于B′
∴B（10，40）
在Rt△BB’C中
tan45°=

BB′

B′C

即BB'=B'C=40
∴C（50，0）设y=ax²+bx+c
∴

0=2500a+50b+c

40=100a+10b+c

0=c

解得

a=-

1

10

b=5

c=0

∴y=-

1

10

x²+5x

（2）设直线AC解析式为y=kx+b

0=50k+b

40=b

∴

k=-

4

5

b=40

y=-

4

5

x+40
过D作DD'∥y轴交直线于D'点
设D（x，-

1

10

x²+5x）则D'（x，-

4

5

x+40）
则S_△ACD=

(-

1

10

x2+5x+

4

5

x-40)×50

2

=-

5

2

x²+145x-1000
∵a=-

5

2

＜0
∴S_△ACD有最大值
∴当x=

145

2×(-

5

2

)

=29时S_△ACD最大=1102.5
当x=29
时，-

1

10

x²+5x=60.9
∴此时D（29，60.9）

（3）设时间为t，0≤t≤10
依题意得：
F（t，40）EM（50-30t，0），

(AN+OM)•OA

2

=

1

2

×

(AB+OC)•OA

2

即：

(t+50-30t)×40

2

=

1

2

×

(10+50)×40

2

50-2t=30
t=10
即：F（10，40）E（20，0）时，MN把梯形面积平分．
设EF解析式为y=k₁x+b₁则有：

10k1+b1=40

20k1+b1=0

解得：

k1=-2

b1=60

∴直线EF解析式为y=-2x+60．

点评：本题结合梯形的知识考查了一次函数及二次函数的应用．用数形结合的思想进行求解是本题的基本思路．

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