Question

如图，在△ABC中，sin∠B=

4

5

，∠C=30°，AB=10．
（1）求AC的长；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）作AD⊥BC，垂足为点D，在直角△ABD中，根据三角函数即可求得AD，再在直角△ACD中，根据三角函数即可求得AC的值；
（2）在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数即可求得BD与CD，进而求得BC，根据三角形的面积公式即可求解．

解答：解：（1）作AD⊥BC，垂足为点D，（1分）
在△ABD中，∠ADB=90°，
∴sin∠B=

AD

AB

=

4

5

（2分）
∵AB=10，∴AD=8．（1分）
在△ACD中，∠ADC=90°，∠C=30°，
∴AC=2AD=16；（1分）

（2）在△ABD中，∠ADB=90°，AB=10，AD=8，
∴BD=6．（2分）
在△ACD中，∠ADC=90°，AD=8，AC=16，
∴CD=8

3

（2分）
∴BC=6+8

3

∴S△ABC=

1

2

AD•BC=

1

2

×8×(6+8

3

)=24+32

3

．（1分）

点评：本题考查了解直角三角形，一般三角形的问题可以转化为直角三角形的问题解决，转化的方法是作高线．