Question

如图，点E为正方形ABCD的边CD上一点，AB=10，AE=4．△DAE旋转后能与△DCF重合．
（1）旋转中心是点

D

，旋转了

90

度．
（2）连接EF，则△DEF是

等腰直角

三角形．
（3）四边形DEBF的周长和面积分别是

20+4

29

和

100

．

Answer 1

分析：（1）根据旋转变换的性质，对应边的交点是旋转中心，对应边的夹角等于旋转角，进行解答；
（2）根据旋转前后的两个图形能够完全重合，可得DE=DF，结合旋转角的度数可知是等腰直角三角形；
（3）根据勾股定理求出AE的长度，然后根据周长的定义列式计算即可求解，根据△DAE旋转后能与△DCF重合，四边形DEBF的面积等于正方形ABCD的面积，然后求解即可．

解答：解：（1）∵△DAE旋转后能与△DCF重合，
∴旋转中心是点D，∠ADC等于旋转角，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∴旋转了90°；

（2）∵DE与DF是对应边，
∴∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；

（3）∵AB=10，AE=4，
∴AD=AB=10，BE=AB-AE=10-4=6，
在Rt△ADE中，DE=

AD2+AE2

=

102+42

=2

29

，
∴四边形DEBF的周长=DE+BE+BF+DF=2

29

+6+（10+4）+2

29

=20+4

29

；
∵△DAE旋转后能与△DCF重合，
∴△DAE≌△DCF，
∴四边形DEBF的面积等于正方形ABCD的面积，
∴面积=10×10=100．
故答案为：（1）D，90；（2）等腰直角；（3）20+4

29

，100．

点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定，旋转变换的性质，熟练掌握并利用旋转变换的性质是解题的关键．