Question

【题目】如图，抛物线的图像经过点A(4，4)，B(5，0)和原点O，点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D(m，0)(m>0)，并与直线OA交于点C．

(1)求出抛物线的函数表达式；

(2)连接OP，当S△OPC＝S△OCD时，求出此时的点P坐标；

(3)在直线OA上取一点M，使得以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，求出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）满足条件的有，，，．

【解析】

（1）利用待定系数法，将A、B、O三点坐标代入即可求解；

（2）根据面积关系得到PC与CD的数量关系，然后设出点的坐标，通过数量关系即可建立方程求解；

（3）分情况讨论，利用全等的性质建立方程求解．

解：（1）设，

将，，代入表达式得：，

解得：，

∴；

（2）∵OA经过点O(0，0)、点A(4，4)，

∴直线OA的函数关系式为：，

设点，则，

∵，且两个三角形同高，

∴，

∴，

当时，解得：，（舍去），

∴代入得，即，

当时，解得：，（舍去），

∴代入得，即，

综上，点P的坐标为或；

（3）当时：

①如图，当≌时，，

∴，解得：，

∴；

②如图，当≌时，，

∴，解得：，

过点M作MH⊥PD于点H，则，

∴；

当时：

③如图，当≌时，，

∴，解得：，

过点M作MH⊥PD于点H，则，

∴；

④如图，当≌时，点与点重合，，

综上所述，满足条件的有：，，，．