Question

已知：如图，Rt△ABC，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC切于D，且AD=2，AE=1．
求：（1）圆O直径的长；
（2）BC的长；
（3）sin∠DBA的值．

Answer 1

解：（1）∵AD是圆O的切线，AB是圆O的割线
∴AD²=AE（AE+EB）
即4=1•（1+BE）
∴BE=3，即圆O的直径长；

（2）∵OB是圆O的半径，且∠ABC=90°，
∴BC是圆O的切线
∵CD是圆O的切线
∴DC=BC设BC=x
Rt△ABC中，x²+4²=（2+x）²
解之，得x=3即BC=3；

（3）连接DE，可证△ADE∽△ABD，
∴===，
在Rt△EDB中，设DE=k，BD=2k，
由勾股定理，得BE=k，
∴sin∠DBA===．
分析：（1）已知AD=2，AE=1，根据切割线长定理求BE即可；
（2）由切线长定理可知BC=CD，根据已知条件，在Rt△ABC中，运用勾股定理求解；
（3）利用△ADE∽△ABD，得出=，DE=k，BD=2k，由勾股定理，得BE=k，在Rt△EDB中，利用锐角三角函数的定义求解．
点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．