Question

如图，已知直线y=x+2与两坐标轴分别交与A、B两点，抛物线y=x²+bx+c经过点A、B，P为直线AB上的一个动点，过P作x轴的垂线与抛物线交于C点．
（1）抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x轴另一个交点为D，连接AD，证明：△ABD为直角三角形；
（3）在直线AB上是否存在一点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线y=x+2与x轴交于点B，
∴令y=0得x+2=0，解得x=4，
∴点B的坐标为（4，0），
∵直线y=x+2与y轴交于点A，
∴令x=0，解得y=2，
∴点A的坐标为（0，2），
∵抛物线y=x²+bx+c经过点A、B，
∴把（0，2），（4，0）分别代入y=x²+bx+c
得：，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x²+x+2；
（2）连接AD，如图所示：
∵抛物线与x轴另一个交点为D，
∴令y=0得﹣x²+x+2=0，
解得x₁=4，x₂=﹣1，
又点D在x轴的负半轴上，
∴点D的坐标为（﹣1，0），在直角三角形AOB中，OA=2，OB=4，
根据勾股定理得：AB²=2²+4²=20，
在直角三角形AOD中，OA=2，OD=1，
根据勾股定理得：AD²=2²+1²=5，
又BD²=（OD+OB）²=（1+4）²=25，
∴BD²=AB²+AD²，则△ABD为直角三角形；
（3）设点P的坐标为（x，﹣x+2），
∵PC⊥x轴，
∴点C的横坐标为x，
又点C在抛物线上，
∴点C（x，﹣x²+x+2），
①当点P在第一象限时，假设存在这样的点P，使AOPC为平行四边形，则OA=PC=2，
即﹣x²+x+2﹣（﹣x+2）=2，
化简得：x²﹣4x+4=0，
解得x=2或x=﹣2（舍去）
把x=2代入y=﹣x+2=1，则点P的坐标为（2，1）；
②当点P在第二象限时，假设存在这样的点P，使AOCP为平行四边形，则OA=PC=2，
即﹣x+2﹣（﹣x²+x+2）=2，
化简得：x²﹣4x﹣4=0，解得：x=2+2（舍去）或x=2﹣2，
把x=2﹣2代入y=﹣x+2=1+，
则点P的坐标为（2﹣2，1+）；
③当点P在第四象限时，假设存在这样的点P，使AOCP为平行四边形，则OA=PC=2，
即﹣x+2﹣（﹣x²+x+2）=2，
化简得：x²﹣4x﹣4=0，解得：x=2+2或x=2﹣2（舍去），
把x=2+2代入y=﹣x+2=1﹣，则点P的坐标为（2+2，1﹣），
综上，使以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形，
满足的点P的坐标为（2，1）；（2﹣2，1+）；（2+2，1﹣）．

            (2)                                                          ①                                                ②

                     ③