Question

如图，?ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∠EAF=45°，且AE+AF=5，AB：AD=2：3，求?ABCD的面积．

Answer 1

解：设AE=x，则AF=5-x，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AEB=∠AFD=∠AFC=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠C=135°，
四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠B=∠D，
∴∠B=∠D=180°-135°=45°，
∴∠BAE=∠DAF=45°，
即∠B=∠BAE，∠D=∠DAF，
∴BE=AE=x，AF=DF=5-x，
在△ABE和△ADF中，根据勾股定理得：AB=x，AD=，
∵AB：AD=2：3，
∴x：（5-x）=2：3，
x=2，
AE=2，AF=3，AB=2，
∴平行四边形ABCD的面积是AB×AF=2×3=6．
分析：设AE=x，则AF=5-x，求出∠C=135°，根据平行四边形的性质得出AB∥CD，∠B=∠D，求出∠B=∠BAE，∠D=∠DAF，推出BE=AE=x，AF=DF=5-x，在△ABE和△ADF中，根据勾股定理得出AB=x，AD=推出x：（5-x）=2：3，求出x，求出AF、AB即可．
点评：本题考查了勾股定理，四边形的内角和定理，平行四边形的性质等知识点，关键是求出AF和AB的长，用了方程思想．