Question

如图：△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，点P由点C出发以每秒2cm的速度沿线段CA向点A运动（不运动到A点），⊙O的圆心在BP上，且⊙O分别与AB、AC相切，当点P运动2秒钟时，⊙O的半径是________．

Answer 1

分析：先过O作OD⊥AC于D，再过O作OE⊥AB于E，并设OD=x，DP=y，由于OD⊥AC，利用勾股定理易求OP=，同理BC==6，BP=，进而易求OB，BE，在Rt△BOE中，利用勾股定理可得x²+（6-y）²=（-）²，化简得16-4•+12y=0①，又知OD⊥AC，BC⊥AC，那么OD∥BC，根据平行线分线段成比例定理的推论
可得△ODP∽△BCP，利用比例线段易得y=x②，然后把②代入①，解即可．
解答：若右图所示，过O作OD⊥AC于D，再过O作OE⊥AB于E，

设OD=x，DP=y，
∵OD⊥AC，
∴OP=，
在Rt△ABC中，BC==6，
同理可得BP=，
∴OB=BP-OP=-，
BE=10-AE=10-（4+y）=6-y，
又∵OE²+BE²=OB²，
∴x²+（6-y）²=（-）²，
即16-4•+12y=0①，
∵OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴△ODP∽△BCP，
∴DP：CP=OD：BC，
∴y：4=x：6，
∴y=x②，
把②代入①，得
x=16，
∴x=．
故答案是．
点评：本题考查了勾股定理、切线性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论．解题的关键是作辅助线OD、OE，构造直角三角形．