Question

已知：如图，在平面直角坐标系内，直线y=x上有一点A，AD⊥x轴于D，且AD=3，C是x轴上的一点，CA ⊥AO， 长度等于OD的线段EF在x轴上沿OC方向以1/s的速度向点C运动（运动前EF和OD重合，当F点与C重合时停止运动，包括起点、终点），过E，F分别作OC的垂线交直角边于点P、点Q，连结线段PD,QD，PQ，PQ交线段AD于点M，若设EF运动的时间为t（s），
（1）写出A点坐标（ ____，____ ） ；PE= ______（用含t的代数式表示线段）， 其中自变量t的取值范围为 ；
（2）是否存在t的值，使得线段PD⊥QD？若存在，请求出相应的t的值，若不存在，请说明理由；
（3）①当t=秒时，线段AM= ______； 
        ②求线段AM关于自变量t的函数解析式，并求出AM的最大值。

Answer 1

（1）（4，3）； ； t的取值范围为0≤t≤
  ∵AP⊥AQ， AM⊥EF
   易证AOD∽ADC∽AOC∽OPE∽CQF，
  且三边之比都为3:4:5 求得PE=， DC=
（2）不存在t的值使PD⊥QD，理由如下： 
  ∵OE=DF=t，∴FC=-t ∴QF= 
  若PD⊥QD，易证△PED∽△DQF
  则=
    ∴ =
   4-t= -t
   4= 这是不可能的，
  ∴不存在t的值使PD⊥QD
（3）① 
  ② ∵AP⊥AQ， AM⊥EF
   ∴SAPQ= AP×AQ= AM×ED+AM×DF=AM×EF
   ∴AM= = = =-²
   =-（t-2）² + 
∴当t=2 秒时，AM最大值为