Question

如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．
（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由．
（2）试说明AE∥BC的理由．
（3）如图（2），将（1）中的点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形．请问是否仍有AE∥BC？请说明理由．
（4）将（1）中的点D运动到边AB的延长线上，仍向上作等边△EDC，连接AE．请按要求画出图形，请问是否仍有AE∥BC？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）通过全等三角形的判定定理SAS证得△DBC≌△EAC；
（2）根据ACE≌△BCD，可得∠ABC=∠CAE=60°，利用等量代换求证∠CAE=∠ACB即可；
（3）同（1）（2）的思路完全相同，也是通过先证明三角形BCD和ACE全等，得出∠EAC=∠B=60°，又由∠ABC=∠ACB=60°，得出这两条线段之间的内错角相等，从而得出平行的结论；
（4）同（3）根据△ABC与△EDC是等边三角形，利用其三边相等和三角相等的关系，证明△ACE≌△BCD说明．

解答：证明：（1）∵△ABC与△EDC是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC．
又∵∠BCD=∠ACB-∠ACD，∠ACE=∠DCE-∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE．
∴在△DBC和△EAC中，

DC=EC ∠BCD=∠ACE BC=AC

∴△DBC≌△EAC（SAS）．

（2）∵△DBC≌△EAC，
∴∠DBC=∠EAC=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB（等量代换），
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）；

（3）结论：AE∥BC
理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形
∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°
∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE
在△DBC和△EAC中，

DC=EC ∠BCD=∠ACE BC=AC

，
∴△DBC≌△EAC（SAS），
∴∠EAC=∠B=60°
又∵∠ACB=60°
∴∠EAC=∠ACB
∴AE∥BC；

（4）成立；
∵同（3）易证△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD（全等三角形的对应角相等），
∵∠CBD+∠ABC=180°，∠ABC=60°，
∴∠CAE=∠CBD=120°，
∴∠EAB=∠EAC-CBA=60°，
∴∠EAB=∠ABC=60°，
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；本题中（1）（2）问实际是告诉解（3）题的步骤，通过全等三角形来得出角相等是解题的关键．