题目内容

请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题：
材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中另一个分式的分子次数低于分母次数．
=
如：对于式子，因为x2≥0，所以1+x2的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5．根据上述材料，解决下列问题：问题1：把分式 化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中另一
个分式的分子次数低于分母次数．
问题2：当x的值变化时，求分式的最小值．
【答案】分析：问题1：根据分式的性质，将分子分母分别乘以4，再将分子转化为x2+2x+2的倍数，然后约分计算；
问题2：根据问题1的结果，通过分母分析分式的最小值．
解答：问题1：解：原式==；
问题2：解：∵（x+1）2≥0，
∴（x+1）2+1的最小值为1，
∴的最大值为2，
∴的最小值为6，
即的最小值为6．
点评：本题主要考查了分式的混合运算，适当转化分子、分母是解题的关键．
练习册系列答案
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请大家阅读下面两段材料，并解答问题：
材料1：我们知道在数轴上表示4和1的两点之间的距离为3，（如图）而|4-1|=3，所以在数轴上表示4和1的两点之间的距离为|4-1|．
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再如在数轴上表示4和-2的两点之间的距离为6，（如图）
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而|4-（-2）|=6，所以数轴上表示数4和-2的两点之间的距离为|4-（-2）|．
根据上述规律，我们可以得出结论：在数轴上表示数a和数b两点之间的距离等于|a-b|（如图）
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材料2：如下左图所示大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积可表示为：a2-b2．
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将上图中的左图重新拼接成右图，则阴影部分的面积可表示为（a+b）（a-b），由此可以得到等式：a2-b2=（a+b）（a-b），
阅读后思考：
（1）试一试，求在数轴上表示的数5
2
3
与-4
1
4
的两点之间的距离为
 
；
（2）请用材料2公式计算：（49
8
9
）2-（49
1
9
）2=
 
；
（3）上述两段材料中，主要体现了数学中
 
的数学思想．
（2013•椒江区一模）请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题：
材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中另一个分式的分子次数低于分母次数．
x2-2x-4
x-1
=
(x2-x)+(-x+1)+(-5)
x-1
=(x-1)-
5
x-1

如：对于式子2+
3
1+x2
，因为x2≥0，所以1+x2的最小值为1，所以
3
1+x2
的最大值为3，所以2+
3
1+x2
的最大值为5．根据上述材料，解决下列问题：问题1：把分式
4x2+8x+7
1
2
x2+x+1
 化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中另一
4x2+8x+7
1
2
x2+x+1
个分式的分子次数低于分母次数．
问题2：当x的值变化时，求分式8-
2
(x+1)2+1
的最小值．

请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题：
材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中另一个分式的分子次数低于分母次数．
数学公式=数学公式
如：对于式子数学公式，因为x2≥0，所以1+x2的最小值为1，所以数学公式的最大值为3，所以数学公式的最大值为5．根据上述材料，解决下列问题：问题1：把分式数学公式 化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中另一
数学公式个分式的分子次数低于分母次数．
问题2：当x的值变化时，求分式数学公式的最小值．

请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题：

材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中另一个分式的分子次数低于分母次数.

如：                                                   .

材料2：对于式子，因为  ≥ ，所以的最小值为1，所以的最

大值为3，所以的最大值为5．根据上述材料，解决下列问题：

问题1：把分式             化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中另一

个分式的分子次数低于分母次数.

问题2：当x的值变化时，求分式             的最小值．

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