Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c经过M（-

1

2

，0）、N（0，

3

4

）两点．正方形ABCD、DEFC的边长均为m，边AB落在x轴上，点E、F在抛物线y=-x²+bx+c上．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线的对称轴．
（3）求m的值．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=-x²+bx+c经过M（-

1

2

，0）、N（0，

3

4

）两点，所以利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）由二次函数的解析式，利用配方法即可求得此抛物线的对称轴；
（3）由正方形ABCD、DEFC的边长均为m，边AB落在x轴上，点E、F在抛物线y=-x²+bx+c上，可知（

1

2

+

m

2

，2m）在此抛物线上，将点代入解析式即可求得m的值．

解答：解：（1）把M（-

1

2

，0），N（0，

3

4

）代入解析式可得：

- 1 4 - 1 2 b+c=0  c= 3 4

，
∴

b=1 c= 3 4

，
∴此抛物线的解析式为：y=-x²+x+

3

4

．

（2）∵y=-x²+x+

3

4

=-（x-

1

2

）²+1，
∴此抛物线的对称轴是直线x=

1

2

．

（3）由题意知（

1

2

+

m

2

，2m）在此抛物线上，
∴-（

1

2

+

m

2

）²+

1

2

+

m

2

+

3

4

=2m，即m²+8m-4=0，
∴m=-4±2

5

．负值舍去，
∴m=2

5

-4．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴以及点与抛物线的关系等知识．解题的关键是数形结合思想的应用．