题目内容

如图，在△ABC中，AC=6，AB=12，cosA= $数学公式$ ，点M在AB上运动，MP∥AC交BC于P，MQ⊥AC于Q，设AM=x，梯形MPCQ的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）当梯形MPCQ的面积为4时，求x的值；
（3）梯形MPCQ的面积是否有最大值，如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．

解：（1）过点C作CK⊥AB于K，
∵在△ABC中，AC=6，AB=12，cosA= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AK= $\text{[math]}$ ，
∴CK= $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ AB•CK= $\text{[math]}$ ×12× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵AM=x，MQ⊥AC于Q，
∴AQ=AM•cosA= $\text{[math]}$ x，
∴QM= $\text{[math]}$ x，
∴S_△AMQ= $\text{[math]}$ AQ•MQ= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ x× $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ x²，
∵MP∥AC，
∴△BPM∽△BCA，
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²=（ $\text{[math]}$ ）²，
∴S_△BPM= $\text{[math]}$ ，
∴y=S_梯形MPCQ=S_△ABC-S_△AMQ-S_△BPM= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x，
∴y关于x的函数表达式为：y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x，自变量x的取值范围为：（0＜x＜10）；

（2）若y=4，
则- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x=4，
解得：x₁= $\text{[math]}$ ，x₂=10（舍去），
∴x的值为： $\text{[math]}$ ；

（3）有．
理由：∵y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
∴当x= $\text{[math]}$ 时，y最大，最大值为： $\text{[math]}$ ，
∴梯形MPCQ的面积有最大值为： $\text{[math]}$ ．
分析：（1）首先过点C作CK⊥AB于K，由在△ABC中，AC=6，AB=12，cosA= $\text{[math]}$ ，即可求得△ABC的高CK，继而求得△ABC的面积，又由MQ⊥AC，设AM=x，即可表示出△AMQ的面积，然后由MP∥AC，可得△BPM∽△BCA，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，表示出△BPM的面积，由y=S_梯形MPCQ=S_△ABC-S_△AMQ-S_△BPM，即可求得y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）根据（1），由y=4，列方程即可求得x的值；
（3）根据（1），利用配方法，根据二次函数的最值问题，即可求得答案．
点评：此题考查了二次函数的综合应用问题，考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．