Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE=1cm，则AC长为

1. A.
   2.5cm
2. B.
   3cm
3. C.
   3.5cm
4. D.
   4cm

Answer 1

B
分析：由BE为角平分线，且ED垂直于AB，EC垂直于BC，利用角平分线性质得到ED=EC，再由BE为公共边，利用HL得出直角三角形BDE与直角三角形BCE全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=BC，又DE垂直平分AB，得到AD=BD，且AE=BE，设AE=BE=xcm，则由AE+EC表示出AC，在直角三角形ADE中，利用勾股定理表示出AD，即为BC，由AB=2AD表示出AB，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出AC的长．
解答：∵BE平分∠ABC，ED⊥BA，EC⊥BC，
∴ED=EC=1cm，又BE=BE，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），
∴BD=BC，
又∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，AD=BD，
设AE=BE=xcm，则有AC=（x+1）cm，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD²+DE²=AE²，
∴AD=BC=cm，AB=2AD=2cm，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AB²=AC²+BC²，
即4（x²-1）=（x+1）²+x²-1，
整理得：（x-2）（x+1）=0，
解得：x=2或x=-1（舍去），
故AC=2+1=3cm．
故选B．
点评：此题考查了角平分线定理，线段垂直平分线定理，以及勾股定理，利用了转化的思想，熟练掌握定理是解本题的关键．