题目内容
24、已知如图，Rt△ABD中，∠ADB=90°，且AD=BD，C是BD延长线上的一点，连接AC，过B作BE⊥AC于E．（1）说明△BFD≌△ACD的理由；
（2）已知BC=7，AD=4，求BF的长．
分析：（1）由∠DBF=∠CAD，∠BDF=∠ADC=90°，BD=AC即ASA可得△ACD≌△BFD；
（2）由（1）可得BF=AC，又有题中条件在Rt△ACD中利用勾股定理求解AC即可．
（2）由（1）可得BF=AC，又有题中条件在Rt△ACD中利用勾股定理求解AC即可．
解答：解：（1）理由：∵BE⊥AC，∴∠CAD+∠AEF=90°，
又∠BFD+∠DBF=90°，∠AFE=∠BFD，
∴∠DBF=∠CAD，又BD=AD，
∴△ACD≌△BFD．
（2）由（1）可得BF=AC，
∵BC=7，BD=AD=4，∴CD=3，
在Rt△ACD中，有勾股定理可得AC=5，
∴BF=AC=5．
又∠BFD+∠DBF=90°，∠AFE=∠BFD，
∴∠DBF=∠CAD，又BD=AD，
∴△ACD≌△BFD．
（2）由（1）可得BF=AC，
∵BC=7，BD=AD=4，∴CD=3，
在Rt△ACD中，有勾股定理可得AC=5，
∴BF=AC=5．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及勾股定理的运用，能够熟练掌握．
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