Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，点与点关于轴对称，过点作轴的垂线，直线与直线交于点.

（1）求点的坐标；

（2）如果抛物线与线段有唯一公共点，

①求抛物线的对称轴，

②求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）(3,3);（2）①见解析；②见解析.

【解析】

（1）根据题意分别求出点A、B、C的坐标；
（2）①将抛物线化成顶点式，即可得抛物线的对称轴，顶点的坐标；

②分类讨论当n＞3时；当n=3时；当0＜n＜3时，抛物线y=nx2-4nx+5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．

解：（1）∵直线与轴交于点.

∴点关于轴的对称点为，为直线.

∵直线与直线交于点，

∴点的坐标为；

（2）①∵抛物线，

∴.

∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线.

②∵点，点，

当时，抛物线最小值为，与线段无公共点；

当时，抛物线顶点为，在线段上.

此时抛物线与线段有一个公共点;

当时，抛物线最小值为，与直线有两个交点.

如果抛物线经过点，则，解得.

由抛物线的对称轴为直线，可知抛物线经过点.

点不在线段上，此时抛物线与线段有一个公共点.

如果抛物线经过点，则，解得.

由抛物线的对称轴为直线，可知抛物线经过点.

点在线段上，此时抛物线与线段有两个公共点.

综上所述，当或时，抛物线与线段有一个公共点.