Question

如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果

AC

AB

=

BC

AC

，那么点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁、S₂，如果

s1

s

=

s2

s1

，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；
（2）请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线．

Answer 1

分析：（1）结合线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析计算；
（2）根据三角形的中线的概念可知分成的两个三角形的面积相等，显然不符合黄金分割线的概念．

解答：解：∵

S△ACD

S△ABC

=

AD

AB

，

S△BCD

S△ACD

=

BD

AD

，
又∵D是AB的黄金分割点，
∴

AD

AB

=

BD

AD

，

S△ACD

S△ABC

=

S△BCD

S△ACD

，
∴CD是△ABC的黄金分割线；

（2）不是．
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=DB，
∴

S△ACD

S△ABC

=

1

2

，
而

S△BCD

s△ACD

=1，
∴

S△ACD

S△ABC

≠

S△BCD

s△ACD

，
∴中线不是黄金分割线．

点评：主要考查的是线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式．