题目内容

已知：如图，BD是?ABCD的对角线，∠ABD=90°，DE⊥BC，垂足为E，M，N分别是AB、DE的中点，tanC= $数学公式$ ，S_△BCD=9cm²．求MN的长（不取近似值）．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠BDC=∠ABD=90°，
∵tanC= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
设BD=xcm，则CD=2xcm，
∴S_△BCD= $\text{[math]}$ •x•2x=9（cm）²
解得 x=3（cm）
∴BD=3cm，CD=2x=2×3=6（cm），
在Rt△BDC中，由勾股定理，得
BC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ （cm），
又∵AD=BC，
∴AD=3 $\text{[math]}$ （cm）
∵DE⊥BC，
∴Rt△BED∽Rt△BDC
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （cm）
又∵AD∥BE，AB与DE不平行，
∴四边形ABED是梯形．
∵M、N分别是AB、DE的中点，
∴MN= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （cm）．
分析：根据四边形ABCD是平行四边形，得出∠BDC=∠ABD=90°，根据tanC= $\text{[math]}$ ，得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，设BD=xcm，则CD=2xcm，根据S_△BCD= $\text{[math]}$ •x•2x=9，求出 x的值，从而得出BD、CD的长，在Rt△BDC中，求出BC= $\text{[math]}$ ，再根据AD=BC，求出AD，根据Rt△BED∽Rt△BDC，得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，BE= $\text{[math]}$ ，最后根据M、N分别是AB、DE的中点，得出MN= $\text{[math]}$ 即可求出答案．．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的性质，关键是运用有关性质和定理，列出算式，求出线段的长度．