Question

已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB=AC，
（1）若BC=AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；
（2）若BC=BA+CD，求∠A的度数？
（3）若∠A=100°，求证：BC=BD+DA．

Answer 1

分析：（1）在BC上截取BE=BA，连接DE，证△ABD≌△EBD，推出AD=DE=CE，∠A=∠DEB，证出∠A=2∠C，因为∠C=∠B，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）在BC上截取CF=CD，连接DF，证△ABD≌△FBD，推出∠A=∠DFB，推出2∠A-∠C=180°，根据三角形内角和定理得到∠A+2∠C=180°，解方程组即可求出答案；
（3）BC上截取BQ=BD，连接DQ，延长BA到W使BW=BQ，连接DW，求出CQ=DQ，证△WBD≌△CBD，推出∠W=∠DQB，证AD=DW，即可推出答案．

解答：解：（1）答：∠A=90°．理由如下：
在BC上截取BE=BA，连接DE．
∵BC=AB+AD，
∴CE=AD，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠EBD，
∵AB=BE，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD，
∴AD=DE=CE，∠A=∠DEB，
∴∠C=∠EDC，
∴∠A=∠DEB=∠C+∠EDC=2∠C，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴4∠C=180°，
∴∠C=45°，∠A=2∠C=90°，
即∠A=90°；

（2）解：在BC上截取CF=CD，连接DF．
∵BC=BA+CD，
∴BF=BA，
∵∠ABD=∠FBD，BD=BD，
∴△ABD≌△FBD，
∴∠A=∠DFB，
∵CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD，
∴∠C+2∠DFC=180°，
∵∠A+∠DFC=180°，
∴2∠A-∠C=180°，
∵∠A+2∠C=180°，
解得：∠A=108°，
答：∠A的度数是108°．

（3）证明：
在BC上截取BQ=BD，连接DQ，延长BA到W使BW=BQ，连接DW．
∵∠A=100°，AC=AB，
∴∠C=∠ABC=40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBQ=20°，
∵BD=BQ，
∴∠DQB=∠BDQ=

1

2

（180°-∠DBQ）=80°，
∴∠CDQ=∠DQB-∠C=40°=∠C，
∴DQ=CQ，
∵在△WBD和△QBD中

BW=BQ ∠WBD=∠QBD BD=BD

，
∴△WBD≌△QBD，
∴∠W=∠DQB=80°，DW=DQ=CQ，
∵∠BAC=100°，
∴∠WAD=180°-100°=80°=∠W，
∴AD=DW=DQ=CQ，
∴BC=BD+DA．

点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．