Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥DC；
（2）若AD=2，AC=，求AB的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴AD⊥CD，

（2）解：连接BC，则∠ACB=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠DAC=∠OAC，
∴△ADC∽△ACB
∴=，
则=，
解得：AB=2.5．
分析：（1）连接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC=∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD，然后利用OC⊥CD，由此即可证明AD⊥CD；
（2）连接BC，根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°，又因为∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题．
点评：此题主要考查了切线的性质与判定以及相似三角形的判定与性质等知识，利用已知条件证明△ADC∽△ACB即可解决问题．