Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达B，C点），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数表达式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出三角形的两个角相等便可证明两三角形相似；
（2）利用△ABD∽△DCE，，BD=x，AE=y代入比例式，便可求出y关于x的函数表达式；
（3）△ADE是等腰三角形，分三种情况讨论：
①若AE=DE，知要求DE⊥AC，AE=DE=AC=1；
②若AD=DE，由（1）条件知△ABD∽△DCE，BD=x=，BD=CE，AE=2-CE=；
③若AD=AE，则∠ADE=∠AED=45°，从而∠DAE=90°，即D点与B点重合，这与已知条件“D点不能到B，C点矛盾”，因此AD≠AE．
解答：（1）证明：由图知和已知条件：
∵∠ADB=∠DAC+∠C=∠DAC+45°，
∴∠DEC=∠DAC+∠ADE=∠DAC+45°，
∴∠ADB=∠DEC；
又∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE．

（2）解：由△ABD∽△DCE，
∴，
∵AB=2，BD=x，DC=，
CE=2-y代入得4-2y=?．

（3）解：①若AE=DE，则DE⊥AC，AD⊥BC，DE⊥AC，
且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1．
②如图2，若AD=DE，由（1）条件知△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE（有一边对应相等的两相似三角形全等），
∴AB=DC，
2=，
x=，
BD=CE，
AE=2-CE=，
③若AD=AE，
则∠ADE=∠AED=45°，∠DAE=90°，点D在B处没走，
则AD≠AE．
点评：此题考查三角形相似条件和二次函数性质，是一道综合题．