Question

已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．

(1)如图①，当AM＝BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM＝AM，PN＝BN，△PMN的形状是________等腰直角三角形．线段AM、BN、MN之间的数量关系是________MN)；

(2)如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是________AM²＋BN²＝MN²．试证明你的猜想；

(3)当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是________AM²＋BN²＝MN²．(不要求证明)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)根据折叠的性质知：△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP．∴AM＝PM，∠A＝∠CPM，PN＝NB，∠B＝∠CPN．∴∠MPN＝∠A＋∠B＝90°，PM＝PN＝AM＝BN． 　　故△PMN是等腰直角三角形，AM2＋BN2＝MN2(或AM＝BN＝MN)． 　　(2)AM2＋BN2＝MN2． 　　证明：如图，将△ACM沿CM折叠，得△DCM，连DN， 　　则△ACM≌△DCM，∴CD＝CA，DM＝AM，∠DCM＝∠ACM． 　　同理可知∠DCN＝∠BCN，△DCN≌△BCN，DN＝BN， 　　而∠MDC＝∠A＝45°，∠CDN＝∠B＝45°，∴∠MDN＝90°， 　　∴DM2＋DN2＝MN2，故AM2＋BN2＝MN2． 　　(3)AM2＋BN2＝MN2；解法同(2)．