Question

如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，M、N分别为AD、BC的中点，MN交AC、BD于E、F．
求证：BD•OE=AC•OF．

Answer 1

解：如图，取AB的中点G．
连接GM，GN，
因为M、N分别为AD，BC中点，
所以GM∥BD，GM=BD，
GN∥AC，GN=AC，
所以∠GMN=∠OFE，∠GNM=∠OEF，
所以△GMN∽△OFE，
所以GM：OF=GN：OE，
即BD：OF=AC：OE，
所以BD•OE=AC•OF．
分析：取AB的中点G，连接GM，GN，根据中位线定理可以求得GM=BD，GN=AC，进而可以求证△GMN∽△OFE，即可证明BC•OE=AC•OF，即可解题．
点评：本题考查了中位线定理，考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求证△GMN∽△OFE是解题的关键．