题目内容

如图，直线y= $数学公式$ x+b经过点B（- $数学公式$ ，2），且与x轴交于点A，将抛物线y= $数学公式$ x²沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．
（1）求∠BAO的度数；
（2）抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F，当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式；
（3）在抛物线y= $数学公式$ x²平移过程中，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛物线C上？如能，求出此时抛物线C顶点P的坐标；如不能，说明理由．

解：（1）设直线与y轴交于点N，
将x=- $\text{[math]}$ ，y=2代入y= $\text{[math]}$ x+b得b=3，
∴y= $\text{[math]}$ x+3，
当x=0时，y=3，当y=0时x=-3 $\text{[math]}$
∴A（-3 $\text{[math]}$ ，0），N（0，3）；
∴OA=3 $\text{[math]}$ ，ON=3，
∴tan∠BAO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴∠BAO=30°，

（2）设抛物线C的解析式为y= $\text{[math]}$ （x-t）²，则P（t，0），E（0， $\text{[math]}$ t²），
∵EF∥x轴且F在抛物线C上，根据抛物线的对称性可知F（2t， $\text{[math]}$ t²），
把x=2t，y= $\text{[math]}$ t²代入y= $\text{[math]}$ x+3
得 $\text{[math]}$ t+3= $\text{[math]}$ t²
解得t₁=- $\text{[math]}$ ，t₂=3 $\text{[math]}$
∴抛物线C的解析式为y= $\text{[math]}$ （x+ $\text{[math]}$ ）²或y= $\text{[math]}$ （x-3 $\text{[math]}$ ）²；

（3）假设点D落在抛物线C上，
不妨设此时抛物线顶点P（m，0），则抛物线C：y= $\text{[math]}$ （x-m）²，AP=3 $\text{[math]}$ +m，
连接DP，作DM⊥x轴，垂足为M．由已知，得△PAB≌△DAB，
又∵∠BAO=30°，
∴△PAD为等边三角形，
PM=AM= $\text{[math]}$ （3 $\text{[math]}$ +m），

∴tan∠DAM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴DM= $\text{[math]}$ （9+ $\text{[math]}$ m），
OM=PM-OP= $\text{[math]}$ （3 $\text{[math]}$ +m）-t= $\text{[math]}$ （3 $\text{[math]}$ -m），
∴M=[- $\text{[math]}$ （3 $\text{[math]}$ -m），0]，
∴D[- $\text{[math]}$ （3 $\text{[math]}$ -m）， $\text{[math]}$ （9+ $\text{[math]}$ m）]，
∵点D落在抛物线C上，
∴ $\text{[math]}$ （9+ $\text{[math]}$ m）= $\text{[math]}$ [- $\text{[math]}$ （3 $\text{[math]}$ -m）-m²，即m²=27，m=±3 $\text{[math]}$ ；
当m=-3 $\text{[math]}$ 时，此时点P（-3 $\text{[math]}$ ，0），点P与点A重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去．
当m=3 $\text{[math]}$ 时P为（3 $\text{[math]}$ ，0）此时可以构成△DAB，
所以点P为（3 $\text{[math]}$ ，0），
∴当点D落在抛物线C上，顶点P为（3 $\text{[math]}$ ，0）．
分析：（1）因为点B（- $\text{[math]}$ ，2）在直线y= $\text{[math]}$ x+b上，所以把B点坐标代入解析式即可求出未知数的值，进而求出其解析式．根据直线解析式可求出A点的坐标及直线与y轴交点的坐标，根据锐角三角函数的定义即可求出∠BAO的度数．
（2）根据抛物线平移的性质可设出抛物线平移后的解析式，由抛物线上点的坐标特点求出E点坐标及对称轴直线，根据EF∥x轴可知E，F，两点关于对称轴直线对称，可求出F点的坐标，把此坐标代入（1）所求的直线解析式就可求出未知数的值，进而求出抛物线C的解析式．
（3）根据特殊角求出D点的坐标表达式，将表达式代入（2）所求解析式，看能否计算出P点坐标，若能，则D点在抛物线C上．反之，不在抛物线上．
点评：此题将抛物线与直线相结合，涉及到动点问题，翻折变换问题，有一定的难度．
尤其（3）题是一道开放性问题，需要进行探索．要求同学们有一定的创新能力．