Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，OB=OC=2，AB=.

(1)求点D的坐标，直线CD的函数表达式；

(2)已知点P是直线CD上一点，当点P满足S△PAO=S△ABO时，求点P的坐标；

(3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F（不与A、B重合），使以A、 C、 F、M为顶点的四边形为菱形?若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）D（4，3），；（2）P（3，）或（-3，）；（3）F（-3，0）或（2，6）或（，）或（，）.

【解析】

（1）先求出A点坐标，然后根据菱形的性质得到D点的坐标，利用C，D两点的坐标求出解析式；

（2）利用点P是直线CD上一点，AO为△PAO的底边不变，并且S△PAO=S△ABO，分两种情况讨论即可；

（3）根据菱形的性质，分AC、AF是邻边，AC、AF是邻边，AC是对角线，AF是对角线四种的情况分别进行求解计算．

解：∵OB=OC=2，AB=，

∴AD=OB+OC=2+2=4，

，

∴A点的坐标为：（0，3），

D点的坐标为：（4，3），

C点的坐标为：（2，0），

设直线CD的函数表达式为：，

∴将C，D点的坐标代入，得：

，解之得：，

∴直线CD的函数表达式为：，

（2）

如图示：∵

∴

设P点坐标为（，）

即：，

∴，

则：，或

∴，或

即P点坐标为（，）或（-3，）；

（3） ∵由（1）得OB=OC=2，AB=，OA=3，

∴AC=，

①当AC、AF是邻边时，如图示，

AF=AC=，即点F与B重合，

∴F的坐标为（-3，0），
②当AC、AF是邻边，如图示，

M在直线AD上，且FC垂直平分AM，C，F沿AD成轴对称，
则F的坐标为：（2，6），

③AC是对角线时，如图示：

作AC垂直平分线FE，

∵AC经过A（0，3），C（2，0），

∴AC解析式为：，并且E点的坐标为（1，），

∵，

∴设FE的解析式为：，将E点坐标，代入化简得：

FE的解析式为：

又∵AB经过A（0，3），B（-2，0），

∴AB解析式为：，

∴Ｆ点的坐标为方程组 的解，

解之得： ,

∴则F的坐标为：（，）,

④AF是对角线时，如图示：

过C作AB垂线，垂足为N，

则

∵，

∴，

∴，，

设F点的横坐标为，根据F点在AB上，并AB解析式为：，

∴F的坐标为：（，）,

则根据勾股定理，有：

∴，，

∴

∴F的坐标为：（，）

综上所述，F点的坐标为：（-3，0）或（2，6）或（，）或（，）