Question

【题目】如图，一次函数y＝x+3的图象分别与y轴，x轴交于点A，B，点P从点B出发，沿射线BA以每秒1个单位的速度运动，设点P的运动时间为t秒．

（1）点P在运动过程中，若某一时刻，△OPA的面积为3，求此时P的坐标；

（2）在整个运动过程中，当t为何值时，△AOP为等腰三角形？请直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）点P的坐标为（﹣2，）或（2，）；（2）当t的值为2、8、和时，△AOP为等腰三角形．

【解析】

（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求得A、B的坐标，用m表示出点P的坐标，利用面积可求得m的值，进一步求得P点坐标；

（2）可用t表示出BP、AP的长，分AP＝AO、AP＝OP和OP＝AO三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．

（1）当x＝0时，y＝3，

当y＝0时，x＝4，

则A（0，3），B（4，0），

∴AO＝3，BO＝4，

设点P的坐标为（m，m+3），

∵△OPA的面积为3，

∴×3×|m|＝3，

解得：m＝±2，

∴点P的坐标为（﹣2，）或（2，）．

（2）∵AO＝3，BO＝4，

∴AB＝，

由题意可知BP＝t，AP＝5﹣t，

当△AOP为等腰三角形时，有AP＝AO、AP＝OP和AO＝OP三种情况．

①当AP＝AO时，则有5﹣t＝3，解得t＝2；或t﹣5＝3，解得t＝8；

②当AP＝OP时，过P作PM⊥AO，垂足为M，如图1，

则M为AO中点，故P为AB中点，此时t＝；

③当AO＝OP时，过O作ON⊥AB，垂足为N，过P作PH⊥OB，垂足为H，如图2，

则NP＝AN＝AP＝（5﹣t），

∵S△AOB＝，

∴ON＝，

∵，

∴，

∴t＝，

综上可知当t的值为2、8、和时，△AOP为等腰三角形．