Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，CD∥AB，且AB是⊙O的直径，AE⊥CD交CD延长线于点E．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AE=2，CD=3，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）证AE是⊙O的切线，即证AB⊥AE即可；
（2）根据切割线定理，可将DE的长求出，再由△ACE∽△BAC可将AB的长求出．

解答：证明：（1）∵AB∥CD且AE⊥CD，
∴AB⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；

（2）连接AC，根据切割线定理：AE²=ED•EC，
设DE=x，则2²=x（x+3），
解得：x₁=1，x₂=-4（舍去），
即：DE=1，
在Rt△ACE中，AC²=AE²+CE²，
∴AC²=20，
∵∠ACB=∠E，∠CAE=∠B，
∴△ACE∽△BAC，
∴

AC

AB

=

CE

AC

，
∴AB=5．

点评：本题考查了切线的判定，在求解直径的过程中要运用切割线定理和相似三角形的判定．