Question

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=

1

2

∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=

5

5

，求BC和BF的长．

Answer 1

分析：（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．
（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．

解答：（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴∠1=

1

2

∠CAB．
∵∠CBF=

1

2

∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．

（2）解：过点C作CG⊥AB于G．
∵sin∠CBF=

5

5

，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=

5

5

，
∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1=

5

，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2

5

，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=

AB2-BE2

=2

5

，
∴sin∠2=

AE

AB

=

2 5

5

，cos∠2=

BE

AB

=

5

5

，
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴

GC

BF

=

AG

AB

∴BF=

GC•AB

AG

=

20

3

点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．