Question

如图⊙O的弦AB⊥CD于H，D、E关于AB对称，BE延长线交⊙O于F，连接FC，作OG⊥AB于G，则下列结论：①FC=CE，②

AF

=

AD

，③∠B=∠BEH，④△ECF∽△EBD，成立的是（　　）

• A、①②③
• B、①②④
• C、②③④
• D、①②③④

Answer 1

分析：①连接FC，BD，先证∠BDE=∠BED，进而证得∠CFE=∠CEF，所以可得FC=CE．
②连接AC，由于∠ABE+∠BED=90°，∠A+∠ACH=90°，根据①的结论，∠A=∠DEB，所以∠B=∠ACH，所以它们所对的弧相等．
③由②知，不正确．
④由②可以证得△ECF∽△BED．

解答：解：连接FC，BD，AC，
∵D、E关于AB对称，
∴∠BDE=∠BED，
又∠CFE=∠BDE，
∴∠CFE=∠CEF，
∴△ECF∽△EBD．故④正确．
∴FC=CE．故①正确．
∠ABE+∠BED=90°，∠A+∠ACH=90°，
∵∠A=∠EDB，
∴∠ABF=∠ACD，
∴

AF

=

AD

．故②正确．
∵∠EBD≠90°，
∴∠B≠∠BEH．故③错误．
故选B．

点评：此题综合运用了等角的余角相等，圆周角定理等．以及利用圆周角定理的结论证明相似等．