Question

关于x的方程,
(1)a为何值时,方程的一根为0?
(2)a为何值时,两根互为相反数?
(3)试证明：无论a取何值,方程的两根不可能互为倒数．

Answer 1

(1)a=1时,方程的一根为0;
(2)当a=2时,原方程的两根互为相反数;
(3)无论a取何值,方程的两根不可能互为倒数．

试题分析：（1）若方程的一根为0,则两根的积必为0,根据此关系可求出a的值;
（2）根据相反数的概念及一元二次方程两根之和与系数的关系解答即可;
（3）根据倒数的概念及一元二次方程两根之积与系数的关系证明即可．
试题解析：（1）∵关于x的方程2x²﹣（a²﹣4）x﹣a+1=0,一根为0,
∴=0,
∴﹣a+1=0,解得a=1,
∴a=1时,方程的一根为0;
（2）∵关于x的方程2x²﹣（a²﹣4）x﹣a+1=0,两根互为相反数,
∴=0,解得：a=±2;
把a=2代入原方程得,2x²﹣1=0,x=±,
把a=﹣2代入原方程得,2x²+3=0,x²=,无解．
故当a=2时,原方程的两根互为相反数;
（3）因为互为倒数的两个数积为1,所以x₁x₂==1,
即=1,
解得,a=﹣1,
把a=﹣1代入原方程得,2x²+3x+2=0,
∵△=3²﹣4×2×2=﹣7＜0,
∴原方程无解,
∴无论a取何值,方程的两根不可能互为倒数．