Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF=90°．

（1）求DE：DF的值；
（2）连结EF，设点B与点E间的距离为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠DAC+∠C=90°，
∴∠B=∠DAC
又∵∠EDF=90°，
∴∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BED∽△AFD，
∴，
∵tanB=，
∴DE：DF=；                

（2）由△BED∽△AFD，得，
∴AF=BE=x，
∵BE=x，
∴AE=3-x，
∵∠BAC=90°，
∴EF²=（3-x）²+（x）²=x²-6x+9，
∵DE：DF=3：4，∠EDF=90°，
∴ED=EF，FD=EF，
∴y=ED•FD=EF²，
∴y=x²-x+（0≤x≤3）．              

分析：（1）由在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，易证得△BED∽△AFD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
（2）由勾股定理易得EF²=（3-x）²+（x）²=x²-6x+9，又由DE：DF=3：4，∠EDF=90°，即可求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．