Question

已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E．

(1)如图，若AB＝6，CD＝2，求CE的长．

(2)如图，当∠A为锐角时，连接BE，试判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论．

(3)若上图中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如下图，CA的延长线与⊙O相交于E．

请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与(2)中你得出的关系相同？若相同，请加以证明；若不同，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)如图，连接AD． 　　∵AB为直径，∴AD⊥BC． 　　又∵AB＝AC，∴BD＝CD． 　　又∵CD＝2，∴BD＝2． 　　由上述分析可知CE·CA＝CD·CB．得6·CE＝2×(2＋2)，∴CE＝1． 　　(2)∠BAC与∠CBE的关系是：∠BAC＝2∠CBE． 　　证明如下：如图，连接AD． 　　∵AB为直径，∴AD⊥BC． 　　又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2． 　　又∵∠2＝∠CBE，∴∠BAC＝2∠CBE． 　　(3)相同，证明如下： 　　如图，连接AD． 　　∵AB为直径，∴AD⊥BC． 　　又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2． 　　∵∠CAD是圆内接四边形AEBD的外角， 　　∴∠2＝∠CBE，∴∠CAB＝2∠CBE． 　　分析：在图中AB＝AC，△ABC是一个等腰三角形，又由AB是直径，所以连结AD，AD⊥BC，则AD是△ABC的高，且∠BAD＝∠CAD，BD＝DC．由此可进一步研究，若连接DE，则∠DEC＋∠AED＝，∠B＋∠AED＝，所以∠DEC＝∠B，△CDE∽△CAB，从而＝，即CE·CA＝CD·CB，则问题可以得到解决．