Question

二次函数y=x²+bx+c的图象与轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知AB=

3

AC，∠CAO=30°，则c=（　　）

• A．

  3

  5

• B．

  7

  10

• C．

  1

  9

• D．

  2

  7

Answer 1

分析：首先利用根与系数的关系求得A，B两点横坐标之间的关系，再进一步结合已知，利用直角三角形的边角关系，把A与B两点横坐标用c表示，由此联立方程即可求得答案．

解答：解：由题意知，点C的坐标为（0，c），OC=c．
设A，B两点的坐标分别为（x₁，0），（x₂，0），
则x₁，x₂是方程x²+bx+c=0的两根，
由根与系数的关系得：x₁+x₂=-b，x₁x₂=c，
又∵∠CAO=30°，则AC=2c，
∴AB=

3

AC=2

3

c；
∴x₁=OA=ACcos30°=

3

c，x₂=OB=OA+AB=3

3

c．
由x₁x₂=9c²=c，得c=

1

9

．
故选C．

点评：本题主要考查二次函数图象与坐标轴交点的坐标特点、根与系数的关系以及直角三角形的边角关系．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．