Question

【题目】（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：BE=AD；

（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是_________（只填序号即可）

①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；

（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE．

Answer 1

【答案】（1）BE=AD（2） ①②③都正确．（3）BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．

【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的性质得出BC=AC，CE=CD， ，求出，证出即可；

（2）求出BC=AC，CE=CD， ， ，证，推出， ，同理，推出BE=CF， ，根据推出，求出，即可求出，同理求出；

（3）在PE上截取PM=PC，连接CM，求出，求出是等边三角形，推出CP=CM， ，证，推出PD=ME即可．

试题解析：

（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形

∴BC=AC，CE=CD，∠ ACB=∠DCE=60°

∴∠BCE=∠ACD

∴△BCE≌△ACD（SAS）

∴BE=AD

（2）①②③都正确．

∵和都是等边三角形，

∴， ， ，

∴，

在和中

∴

∴， ，

∴②正确；

同理

∴BE=CF，

∴，

∴①正确；

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

同理，

∴③正确；

故答案为：①②③；

（3） 在PE上截取PM=PC，联结CM

由（1）可知，△BCE≌△ACD（SAS）

∴∠1=∠2

设CD与BE交于点G，在△CGE和△PGD中

∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD

∴∠DPG=∠EC G=60°同理∠CPE=60°

∴△CPM是等边三角形

∴CP=CM，∠PMC=60°．

∴∠CPD=∠CME="120" °．

∵∠1=∠2，

∴△CPD≌△CME（AAS），

∴PD=ME，

∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．