Question

已知：点P是三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC．
（1）如图1，当△ABC是等边三角形时，将△PBC绕点B顺时针旋转60°到△P′BC′的位置．若AB的长为a，BP的长为b（b＜a），求△PBC旋转到△P′BC′的过程中边PC所扫过区域（图1中阴影部分）的面积．（用a、b表示）
（2）如图2，若△ABC为任意锐角三角形，问：当∠APC、∠APB和∠BPC满足什么大小关系时，AP+BP+CP的和最小，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵△ABC是等边三角形，AB的长为a，
∴AB=BC=a．
又∵△P′BC′是由△PBC绕点B顺时针旋转60°得到的，
∴∠PBP′=∠CBC′=60°，
∴S_阴影=-=π（a²-b²）；

（2）如图，将△BPC绕着点B顺时针旋转60°到△BP′C′的位置，连接PP′．
则△BPC≌△BP′C′，∠PBP′=60°，
∴BP=BP′，
∴△BPP′为等边三角形，
∴∠BPP′=∠BP′P=60°，PP′=BP，C′P′=CP，
则AP+BP+CP=AP+PP′+P′C′≥AC′，
显然当A、P、P′、C′四点在同一直线上时，AP+BP+CP有最小值，
此时，∠APB=120°，∠BP′C′=120°，
于是∠BPC=∠BP′C′=120°，∠APC=360°-2×120°=120°，
∴当∠APC=∠BPC=∠APB=120°时，AP+BP+CP的和最小．
分析：（1）根据旋转变换的性质可得阴影部分的面积等于以BC为半径的扇形面积减去以BP为半径的扇形的面积，然后列式进行计算即可得解；
（2）如图，将△BPC绕着点B顺时针旋转60°到△BP′C′的位置，连接PP′．通过旋转，使A、P、P′、C′四点共线，这样AP+BP+CP的和最小．
点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质以及扇形的面积公式等知识点．观察出阴影部分的面积的表示是解答（1）题的关键．