Question

（2012•资阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP．
（1）BD=DC吗？说明理由；
（2）求∠BOP的度数；
（3）求证：CP是⊙O的切线；
如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：
为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．

Answer 1

分析：（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，故BD=DC；
（2）由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线，所以∠BAD=∠CAD，故

BD

=

DE

，进而可得出BD=DE，故BD=DE=DC，
所以∠DEC=∠DCE，△ABC中由等腰三角形的性质可得出∠ABC=75°，故∠DEC=75°由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP的度数，再由OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°；
（3）设OP交AC于点G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在Rt△AOG中，由∠OAG=30°，可知

OG

AG

=

1

2

，由于

OP

AC

=

OP

AB

=

1

2

，所以

OP

AC

=

OG

AG

，

OG

AG

=

GP

GC

，再根据∠AGO=∠CGP可得出△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°，故可得出CP是⊙O的切线．

解答：（1）解：BD=DC．
连接AD，如图1，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=DC；

（2）解：∵AD是等腰三角形ABC底边上的中线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴

BD

=

DE

，
∴BD=DE，
∴BD=DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∵△ABC中，AB=AC，∠A=30°
∴∠DCE=∠ABC=

1

2

（180°-30°）=75°，
∴∠DEC=75°
∴∠EDC=180°-75°-75°=30°
∵BP∥DE，
∴∠PBC=∠EDC=30°，
∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=75°-30°=45°
∵OB=OP，
∴∠OBP=∠OPB=45°，
∴∠BOP=90°；


（3）证明：证法一：
∵设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP=90°
∴OP⊥AB
在Rt△AOG中，
∵∠OAG=30°，
∴

OG

AG

=

1

2

，
又∵

OP

AC

=

OP

AB

=

1

2

，
∴

OP

AC

=

OG

AG

，
∴

OG

AG

=

GP

GC

，
又∵∠AGO=∠CGP
∴△AOG∽△CPG，
∴∠GPC=∠AOG=90°，
∴CP是⊙O的切线．
证法二：过点C作CH⊥AB于点H，如图2，则∠BOP=∠BHC=90°，
∴PO∥CH
在Rt△AHC中，
∵∠HAC=30°，
∴CH=

1

2

AC，
又∵PO=

1

2

AB=

1

2

AC，
∴PO=CH，
∴四边形CHOP是平行四边形
∵CH⊥AB，
∴四边形CHOP是矩形，
又∵点P在圆O上，
∴∠OPC=90°，即OP⊥PC，
∴CP是⊙O的切线．

点评：本题考查的是切线的判定定理、等腰三角形的性质、圆周角定理及相似三角形的判定与性质，在判定圆的切线时构造直角三角形，再利用直角三角形的性质去证明过圆心的直线与切线垂直．